Norma (matemáticas)

En álgebra lineal, análisis funcional y áreas relacionadas de matemáticas, una norma es una función que asigna una longitud estrictamente positiva o talla a todos los vectores en un espacio vectorial, además del vector cero (que hace asignar la longitud cero a ello). Una seminorma, por otra parte, se permite asignar la longitud cero a algunos vectores distintos a cero (además del vector cero).

Un ejemplo simple es el espacio Euclidiano de 2 dimensiones R equipado con la norma Euclidiana. Los elementos en este espacio vectorial (p.ej, (3, 7)) por lo general se dibujan como flechas en un sistema coordenado cartesiano de 2 dimensiones que comienza en el origen (0, 0). La norma Euclidiana asigna a cada vector la longitud de su flecha. A causa de esto, la norma Euclidiana a menudo se conoce como la magnitud.

Se llama un espacio vectorial con una norma un espacio vectorial normed. Del mismo modo, se llama un espacio vectorial con una seminorma un espacio vectorial seminormed.

Nota

La norma de un vector, matriz o juego (su cardinality) por lo general se nota usando la "doble línea vertical", Unicode Ux2016: (&#x2016). Por ejemplo, la norma de un vector v por lo general se denota ‖v‖. a veces la línea vertical, Unicode Ux007c (&#x007c), se usa (p.ej |v), pero esta nota última generalmente se desalienta, porque también es usada para denotar el valor absoluto de escalares y el determinante de matrices. La doble línea vertical no se debería confundir con el "paralelo" al símbolo, Unicode Ux2225 (&#x2225). Esto no es por lo general un problema porque ‖ se usa de la moda parecida a un paréntesis, mientras que ∥ se usa como un operador del infijo.

Definición

Considerando un espacio vectorial V sobre un subcampo F de los números complejos, una norma según V es una función con las propiedades siguientes:

Para todo unF y todo u, vV,

  1. p (av) = un p (v), (homogeneidad positiva o escalabilidad positiva).
  2. p (u + v) ≤ p (u) + p (v) (desigualdad del triángulo o subaditividad).
  3. Si p (v) = 0 entonces v es el vector cero (separa puntos).

Una consecuencia simple de los dos primeros axiomas, homogeneidad positiva y la desigualdad del triángulo, es p (0) = 0 y así

: p (v) 0 (positivity).

Una seminorma es una norma con la 3ra propiedad (separación de puntos) quitado.

Aunque cada espacio vectorial sea seminormed (p.ej, con la seminorma trivial en la sección de Ejemplos abajo), puede no ser normed. Cada espacio vectorial V con la seminorma p (v) induce V/W espacial normed, llamado el espacio del cociente, donde W es el subespacio de V consistiendo en todos los vectores v en V con p (v) = 0. La norma inducida según V/W es claramente bien definida y se da por:

: p (W + v) = p (v).

Se llama un espacio vectorial topológico normable (seminormable) si la topología del espacio puede ser inducida por una norma (seminorma).

Ejemplos

  • Todas las normas son seminormas.
  • La seminorma trivial, con p (x) = 0 para todo x en V.
  • El valor absoluto es una norma según los números reales.
  • Cada forma lineal f en un espacio vectorial define una seminorma por xf (x).

Norma euclidiana

En un espacio Euclidiano n-dimensional R, la noción intuitiva de la longitud del vector x = (x, x..., x) es capturada por la fórmula

:

Esto da la distancia ordinaria del origen al punto x, una consecuencia del teorema de Pythagorean.

La norma Euclidiana es sin duda la norma el más comúnmente usada según R, pero hay otras normas según este espacio vectorial como se mostrará abajo. Sin embargo todas estas normas son equivalentes en el sentido que todos ellos definen la misma topología.

En un espacio complejo n-dimensional C la norma más común es

:

En ambos casos también podemos expresar la norma como la raíz cuadrada del producto interior del vector y él:

:

donde x se representa como un vector de la columna ([x; x;...; x]), y x* denota que sus conjugados transportan.

Esta fórmula es válida para cualquier espacio del producto interior, incluso espacios Euclidianos y complejos. Para espacios Euclidianos, el producto interior es equivalente al producto de punto. De ahí, en este caso concreto la fórmula también se puede escribir con la nota siguiente:

:

La norma Euclidiana también se llama la longitud Euclidiana, L distancia', distancia ℓ, L norma' o norma ℓ; ver el espacio L.

El juego de vectores en R cuya norma Euclidiana es unas formas constantes positivas dadas una n-esfera.

Norma euclidiana de un número complejo

La norma Euclidiana de un número complejo es el valor absoluto (también llamó el módulo) de ello, si el avión complejo se identifica con el avión Euclidiano R. Esta identificación del número complejo x + iy como un vector en el avión Euclidiano, hace la cantidad (como primero sugerido por Euler) la norma Euclidiana asociado con el número complejo.

Norma del taxi o norma de Manhattan

:

El nombre está relacionado con la distancia que un taxi tiene que conducir en una rejilla de la calle rectangular para ponerse del origen al punto x.

El juego de vectores cuya 1 norma es unas formas constantes dadas la superficie de una cruz se poliemborracha de la dimensión equivalente a esa de la norma menos 1. La norma del Taxi también se llama la norma L'. La distancia sacada de esta norma se llama la distancia de Manhattan o distancia L'.

La 1 norma es simplemente la suma de los valores absolutos de las columnas.

En contraste,

:

no es una norma porque puede ceder resultados negativos.

p-norma

Deje a p ≥ 1 ser un número real.

:

Note que para p = 1 conseguimos la norma del taxi, para p = 2 conseguimos la norma Euclidiana, y ya que el p se acerca la p-norma se acerca a la norma de infinidad o.

Esta definición todavía es del cierto interés para 0 porque viola la desigualdad del triángulo. Lo que es verdad para este caso de 0 clase es un espacio vectorial, y también es verdad que la función

:

(sin la raíz de p-th) define una distancia que hace L (X) en un espacio vectorial topológico métrico completo. Estos espacios son del gran interés en análisis funcional, teoría de probabilidad y análisis armónico.

Sin embargo, fuera de casos triviales, este espacio vectorial topológico no es en la localidad convexo y no tiene formas lineales distintas a cero continuas. Así el espacio dual topológico sólo contiene el cero funcional.

Norma máxima (caso especial de: norma de infinidad, norma uniforme o norma supremum)

:

El juego de vectores cuya norma de infinidad es una constante dada, c, forma la superficie de un hipercubo con la longitud del borde 2c.

Norma cero

En probabilidad y análisis funcional, la norma cero induce una topología métrica completa para el espacio de funciones de measureable y para el F-espacio de secuencias con la F-norma, de que habla Stefan Rolewicz en Espacios Lineales Métricos.

Distancia de Hamming de un vector de cero

En la geometría métrica, el métrico distinto toma el valor un para puntos distintos y cero por otra parte. Cuando aplicado coordinativo y sabio a los elementos de un espacio vectorial, la distancia distinta define la distancia de Hamming, que es importante en teoría de información y codificación. En el campo de números complejos o reales, la distancia del métrico distinto del cero no es homogénea en el punto distinto a cero; en efecto, la distancia del cero permanece la que ya que su argumento distinto a cero se acerca al cero. Sin embargo, la distancia distinta de un número del cero realmente satisface las otras propiedades de una norma, a saber la desigualdad del triángulo y carácter decisivo positivo. Cuando aplicado componente y sabio a vectores, la distancia distinta del cero se comporta como una "norma" no homogénea, que cuenta el número de componentes distintos a cero en su argumento del vector; otra vez, esta "norma" no homogénea es discontinua.

En procesamiento de la señal y estadística, David Donoho se refirió a la "norma" cero con comillas. La nota de Donoho siguiente, la "norma" cero de x es simplemente el número de coordenadas distintas a cero de x o la distancia de Hamming del vector del cero. Cuando esta "norma" se localiza a un conjunto limitado, es el límite de p-normas ya que el p se acerca 0. Por supuesto, la "norma" cero no es una B-norma, porque no es positivo homogéneo. Ni siquiera es una F-norma, porque es discontinuo, conjuntamente y respectivamente, con respecto al argumento escalar en la multiplicación del vector escalar y con respecto a su argumento del vector. Abusando de la terminología, algunos ingenieros omiten las comillas de Donoho e inapropiadamente llaman la función de number-of-nonzeros la norma L0 (sic)., también empleando mal la nota para el espacio de Lebesgue de funciones mensurables.

Otras normas

Otras normas según R se pueden construir combinando el susodicho; por ejemplo

:

es una norma según R.

Para cualquier norma y cualquier transformación lineal injective nosotros pueden definir una nueva norma de x, igual a

:

En el 2do, con una rotación por 45 ° y un escalamiento conveniente, esto cambia la norma del taxi en la norma máxima. En el 2do, cada uno Un aplicado a la norma del taxi, hasta inversión e intercambio de hachas, da una pelota de la unidad diferente: un paralelogramo de una forma particular, talla y orientación. En el 3D esto es similar, pero diferente para la 1 norma (octaedros) y la norma máxima (prismas con la base del paralelogramo).

Todas las susodichas fórmulas también ceden normas según C sin la modificación.

Caso de dimensión infinita

La generalización de las susodichas normas a un número infinito de componentes lleva a los espacios L, con normas

:

(para secuencias valoradas al complejo x el resp. funciona f definido en), que se puede generalizar adelante (ver la medida de Haar).

Cualquier producto interior induce de un modo natural la norma

Otros ejemplos de espacios vectoriales normed de dimensión infinita se pueden encontrar en el artículo del espacio de Banach.

Propiedades

El concepto del círculo de la unidad (el juego de todos los vectores de la norma 1) es diferente en normas diferentes: para la 1 norma el círculo de la unidad en R es un cuadrado, para el de 2 normas (Norma euclidiana) es el círculo de la unidad famoso, mientras para la norma de infinidad es un cuadrado diferente. Para cualquier p-norma es una superelipse (con hachas congruentes). Ver la ilustración acompañante. Note que debido a la definición de la norma, el círculo de la unidad siempre es convexo y centralmente simétrico (por lo tanto, por ejemplo, la pelota de la unidad puede ser un rectángulo, pero no puede ser un triángulo).

En términos de espacio vectorial, la seminorma define una topología en el espacio, y esto es una topología de Hausdorff exactamente cuando la seminorma se puede distinguir entre vectores distintos, que es otra vez equivalente a la seminorma que es una norma. La topología así definida (por una norma o por una seminorma) se puede entender en términos de secuencias o juegos abiertos. Se dice que una secuencia de vectores converge en la norma a si como. Equivalentemente, la topología consiste en todos los juegos que se pueden representar como una unión de pelotas abiertas.

Dos normas || • || y || • || en un espacio vectorial V se llaman equivalentes si allí existen números reales positivos C y D tal que

:

para todo x en V. Por ejemplo, en, si p> r> 0, entonces

:

En detalle particular,

:

:

:

Si el espacio vectorial es verdadero/complejo de dimensión finita, todas las normas son equivalentes.

Si no, algunas normas no son.

Las normas equivalentes definen las mismas nociones de continuidad y convergencia y con muchos objetivos no se tienen que distinguir. Para ser más precisa la estructura uniforme definida por normas equivalentes según el espacio vectorial es uniformemente isomorphic.

Cada (semi) - la norma es una función sublineal, que implica que cada norma es una función convexa. Como consiguiente, el descubrimiento de un grado óptimo global de una función objetiva basada en la norma a menudo es manejable.

Considerando una familia finita de seminormas p en un espacio vectorial la suma

:

es otra vez una seminorma.

Para cualquier norma p en un espacio vectorial V, tenemos esto para todo u y vV:

:p (u ± v) ≥ | p (u) − p (v) |

Para las normas l, tenemos la desigualdad de Hölder

:

Un caso especial de la susodicha propiedad es la desigualdad de Cauchy-Schwarz:

:

Clasificación de seminormas: juegos absorbentes Absolutamente convexos

Todas las seminormas según un espacio vectorial V se pueden clasificar en términos de juegos absorbentes absolutamente convexos en V. A cada tal juego, A, corresponde una seminorma p llamó la medida de A, definido como

:p (x): = inf {α: α> 0, x ∈ α Un }\

con la propiedad esto

: {x: p (x) (x)1\.

A la inversa:

Cualquier espacio vectorial topológico en la localidad convexo tiene una base local que consiste en juegos absolutamente convexos. Un método común para construir tal base debe usar a una familia que se separa (p) de seminormas p: la colección de todas las intersecciones finitas de juegos {p}} es continua.

El:The opuesto es debido a Kolmogorov: cualquiera en la localidad convexo y en la localidad saltó el espacio vectorial topológico es normable. Exactamente:

El:If V es una vecindad saltada absolutamente convexa de 0, la medida g (de modo que V = {g

Ver http://en.wikipedia.org/wiki/Wikipedia:Footnotes para una explicación de cómo generar notas a pie de página usando las etiquetas y la plantilla abajo.

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Bill Quay / Wowser
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